题目内容
已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，P，在椭圆E上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=
，|PF2|=
．
（1）求椭圆E方程；
（2）若直线l过圆M：x2+y2+6x-2y=0的圆心M，交椭圆E于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 9 |
| 5 |
| 41 |
| 5 |
（1）求椭圆E方程；
（2）若直线l过圆M：x2+y2+6x-2y=0的圆心M，交椭圆E于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．
分析：（1）由题意可知2a=|PF1|+|PF2|=10，a=5，|F1F2|=
=8，由此可求出椭圆C的方程．
（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2分别代入椭圆的方程后作差，结合点差法再利用A、B关于点M对称，所以x1+x2=-6，y1+y2=2，代入③得直线l的斜率，由此可求出直线l的方程．
| |PF2|2-|PF1|2 |
（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2分别代入椭圆的方程后作差，结合点差法再利用A、B关于点M对称，所以x1+x2=-6，y1+y2=2，代入③得直线l的斜率，由此可求出直线l的方程．
解答：解：（1）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=10，a=5．
在Rt△PF1F2中，|F1F2|=
=8，
故椭圆的半焦距c=4，
从而b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的方程为
+
=1．
（2）已知圆的方程为（x+3）2+（y-1）2=5，
所以圆心M的坐标为（-3，1）．
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
由题意x1≠x2且
+
=1，①
+
=1，②
由①-②得
+
=0．③
因为A、B关于点M对称，
所以x1+x2=-6，y1+y2=2，
代入③得
=
，
即直线l的斜率为
，
所以直线l的方程为y-1=
（x+3），
即27x-25y+106=0．
在Rt△PF1F2中，|F1F2|=
| |PF2|2-|PF1|2 |
故椭圆的半焦距c=4，
从而b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
（2）已知圆的方程为（x+3）2+（y-1）2=5，
所以圆心M的坐标为（-3，1）．
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
由题意x1≠x2且
| x12 |
| 25 |
| y12 |
| 9 |
| x22 |
| 25 |
| y22 |
| 9 |
由①-②得
| (x1-x2)(x1+x2) |
| 25 |
| (y1-y2)(y1+y2) |
| 9 |
因为A、B关于点M对称，
所以x1+x2=-6，y1+y2=2，
代入③得
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 27 |
| 25 |
即直线l的斜率为
| 27 |
| 25 |
所以直线l的方程为y-1=
| 27 |
| 25 |
即27x-25y+106=0．
点评：本题综合考查直线和圆、椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于中档题．
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