Question

【题目】已知曲线上的点到二定点、 的距离之和为定值，以为圆心半径为4的圆与有两交点，其中一交点为， 在y轴正半轴上，圆与x轴从左至右交于二点， ．

(1)求曲线、的方程；

(2)曲线，直线与交于点，过点的直线与曲线交于二点，过做的切线， 交于．当在x轴上方时，是否存在点，满足，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ,;(2) 必存在两个满足题设条件的点.

【解析】试题分析：(1) 设，布列方程组，即可得到曲线、的方程;

(2) 由题设知， 得，则,

，∵交于∴, ∴，同理，∴在直线上，进而就可得到满足题意的点.

试题解析：

(1)由题设知，曲线是定点、为焦点的椭圆

设

则，即 则， ，

∵，

∴ ∴即

∴

∴， ，

∴,

(2)存在点，满足．下面证明之．

由题设知， 得,又知

设点

则,

∵, ∴

∵交于∴, ∴

同理 ∴在直线上

∴ ∵在上 ∴

即点为直线上的点

由得

知为椭圆上的点,即为椭圆和直线的公共点．

将坐标代入方程左端得

即上的点在椭圆内部 ∴与椭圆必有二公共点

∴必存在两个满足题设条件的点．