Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F

是CD的中点。

   （I）求证：AF//平面BCE；

   （II）求证：平面BCE⊥平面CDE；

   （III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析（III）45°

解析:

（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点，

∴FP//DE，且FP=

又AB//DE，且AB=

∴AB//FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。…………2分

又∵AF平面BCE，BP平面BCE，

∴AF//平面BCE。 …………4分

   （II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。

∵AB⊥平面ACD，DE//AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，

∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE。 …………6分

又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE。 …………8分

   （III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，

则C（0，—1，0），………………9分

 ……10分

显然，为平面ACD的法向量。

设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为

，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。…………12分