Question

（2013•温州二模）设函数f（x）=

1 a-1 (x-1)，(x≥a) 1 a-2 (x-2)，(x＜a)

，若存在t₁，t₂使得f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

，则t₁-t₂的取值范围是

（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：分a＜1，a＞2，1＜a＜2三种情况进行讨论：根据图象的特殊点可作出函数图象，根据图象及函数单调性可表示出f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

，由此可得t₁-t₂的取值范围．

解答：解：①若a＜1，作出函数f（x）的图象如图（1），∵f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

，∴t₁＞a，t₂＜a，
即f（t₁）=

1

a-1

(t1-1)=

1

2

，即t1=

1

2

(a-1)+1=

a+1

2

，
f（t₂）=

1

a-2

(t2-2)=

3

2

，即t2=

3a-2

2

，
∴t1-t2=

a+1

2

-

3a-2

2

=

3-2a

2

=

3

2

-a，
∵a＜1，∴-a＞-1，
∴t₁-t₂=

3

2

-a＞

1

2

．
②a＞2，作出函数f（x）的图象如图（2）
∵f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

，∴t₁＜a，t₂＞a，
即f（t₁）=

1

a-2

(t1-2）=

1

2

，即t1=

a+2

2

，
f（t₂）=

1

a-1

(t2-1)=

3

2

，即t2=

3a-1

2

，
∴t₁-t₂=

a+2

2

-

3a-1

2

=

3-2a

2

=

3

2

-a，
∵a＞2，∴-a＜-2，
∴t₁-t₂=

3

2

-a＜-

1

2

．
③1＜a＜2，作出函数f（x）的图象如图（3）：则此时函数f（x）的最大值为1，
∵f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

＞1
∴此时t₂不存在，即1＜a＜2，不成立．
综上：t₁-t₂的取值范围是（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

点评：本题考查一次函数的求值问题，考查分类讨论思想、数形结合思想，利用条件确定t₁，t₂的取值范围是解决本题的关键．正确画出函数图象是解决问题的突破点．