Question

设函数f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=x-a．若不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，则实数a的取值范围是

[-3，6]

．

Answer 1

分析：当x＞a时，g（x）＞0恒成立，显然不存在x₀∈（a，+∞），使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，当x≤a时，则需f（x）≥0在（-∞，a]上恒成立，只需f（x）在（-∞，a]上的最小值大于或等于零即可，利用二次函数的图象性质求最小值并解不等式即可得a的取值范围

解答：解：①若x≤a，则g（x）≤0，此时若不存在x₀∈（-∞，a]，使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，需f（x）≥0在（-∞，a]上恒成立，
即x²-ax+a+3≥0在（-∞，a]上恒成立，
需

a＞0 f( a 2 )≥0

或

a≤0 f(a)≥0

，即

a＞0 - a2 4 +a+3≥0

或

a≤0 a+3≥0

解得：-3≤a≤6
②若x＞a，则g（x）＞0恒成立，显然不存在x₀∈（a，+∞），使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，此时a∈R
综上所述，若不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，实数a的取值范围是[-3，6]
故答案为[-3，6]

点评：本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，不等式恒成立和能成立问题的解法，分类讨论的思想方法和转化化归的思想方法