Question

已知函数f（x）=lnx，，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）＜g（x）成立；
（Ⅲ）证明：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用f（x）与g（x）的图象在x轴上有公共点（1，0），可得一等式，再利用在该点处切线相同，可得另一等式，由此可求a，b的值；
（Ⅱ）构造函数，求导数，确定F（x）在x＞1时单调递减，即可证得结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，（x＞1），令，可得，k=1，2，3…，n，将上述n个不等式依次相加，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：因为f（x）与g（x）的图象在x轴上有公共点（1，0），所以g（1）=0，即a+b=0．
又因为，，
由题意f'（1）=g'（1）=1，所以a-b=1
所以，．                         …（4分）
（Ⅱ）证明：设，则．
所以F（x）在x＞1时单调递减．
由F（1）=0可得当x＞1时，F（x）＜0，即f（x）＜g（x）．   …（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得，（x＞1）．
令，则，
所以，k=1，2，3…，n．
将上述n个不等式依次相加得 ，
所以．  …（13分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，解题的关键是构建新函数，确定函数的单调性，属于中档题．