Question

今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱（接口连接问题不考虑）．
（Ⅰ）求水箱容积的表达式f（x），并指出函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若要使水箱容积不大于4x³立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定长方体形水箱高为x米，底面矩形长为（2-2x）米，宽（1-2x）米，即可得到该水箱容积为f（x）=（2-2x）（1-2x）x=4x³-6x²+2x，根据长、宽、高为正数，可确定所求函数f（x）定义域；
（Ⅱ）根据水箱容积不大于4x³立方米，构建不等式，确定函数的定义域，再利用底面积为S（x）=（2-2x）（1-2x）=4x²-6x+2，结合定义域，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由已知该长方体形水箱高为x米，底面矩形长为（2-2x）米，宽（1-2x）米．
∴该水箱容积为f（x）=（2-2x）（1-2x）x=4x³-6x²+2x．…（4分）
其中正数x满足

2-2x＞0 1-2x＞0

∴0＜x＜

1

2

．
∴所求函数f（x）定义域为{x|0＜x＜

1

2

}．…（6分）
（Ⅱ）由f（x）≤4x³，得x≤0或x≥

1

3

，
∵定义域为{x|0＜x＜

1

2

}，∴

1

3

≤x＜

1

2

．…（8分）
此时的底面积为S（x）=（2-2x）（1-2x）=4x²-6x+2（x∈[

1

3

，

1

2

））．
由S（x）=4（x-

3

4

）²-

1

4

，…（10分）
可知S（x）在[

1

3

，

1

2

）上是单调减函数，
∴x=

1

3

．
即要使水箱容积不大于4x³立方米的同时，又使得底面积最大的x是

1

3

．…（12分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，利用长方体的体积公式，确定函数是关键．