Question

已知
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有一个实数解，求实数a的取值范围；
（3）已知数列，若不等式f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）时恒成立，求实数p的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）当是常数，不是单调函数，在0≤x≤3上解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间；
（2）由（1）知函数的最值，要使方程f（x）-a=0恰有一个实数解，表示直线y=a与函数f（x）的图象有且只有一个交点，从而求出a的范围；
（3）先求出时f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）的值，然后利用函数图象与切线的位置关系证明f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤6027，最后求出x-ln（x-p）的最小值，时最小值大于等于6027即可．
解答：解：（1）当是常数，不是单调函数；
当0≤x≤3时，f（x）=，
令f'（x）＞0解得x∈（0，）
与f'（x）＜0解得x∈（，3）
∴f（x）的单调增区间是（0，）
f（x）的单调减区间是（，3）
（2）由（1）知，
则方程f（x）-a=0恰有一个实数解
表示直线y=a与函数f（x）的图象有且只有一个交点
则＜a＜3，或a=
（3）时f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）=6027
f（x）=在x=处的切线为y=
则有成立
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤6027
设g（x）=x-ln（x-p），g'（x）＞0解得x＞p+1
g'（x）＜0解得p＜x＜p+1，∴g（x）的最小值为p+1
只需p+1≥6027
∴p的最小值为6026
点评：本题主要考查了分段函数的应用，以及数列与函数的综合，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于难题．