Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且an=

1

2

(3n+Sn)对一切正整数n成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设bn=

an

3

+1，求b1b2+b2b3+…+bnbn+1的和．

Answer 1

分析：（1）由an=

1

2

(3n+Sn)①，得an-1=

1

2

(3n-3+Sn-1)②，两式相减可得数列递推式，从而可转化为等比数列求解；
（2）由（1）可得b_n，b_nb_n+1，利用等比数列的求和公式可得结果；

解答：解：（1）∵an=

1

2

(3n+Sn)①，∴an-1=

1

2

(3n-3+Sn-1)②，
①-②得an-an-1=

1

2

(3+an)∴an=2an-1+3，
∴an+3=2(an-1+3)∴

an+3

an-1+3

=2（常数）（n≥2），
∴{a_n+3}成等比数列，q=2．
又a1=

1

2

(3+a1)∴a1=3，
∴an+3=(a1+3)qn-1=6•2n-1=3•2n∴an=3•2n-3；
（2）由（1）得bn=

an

3

+1=2n，

∴b1b2+b2b3+…+bnbn+1=2•22+22•23+…+2n•2n+1 =23+25+…+22n+1= 8 3 (4n-1)

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、等比数列求和，考查转化思想，考查学生的运算求解能力，属中档题．