Question

如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，垂足D在边BC上，∠CAD=2∠BAD=2θ（0＜θ＜

π

4

），BD=1，设△ABD，△ACD的面积分别为S₁，S₂．
（Ⅰ）当

S2

S1

＞4时，求tanθ的取值范围；
（Ⅱ）当S₁S₂＞

9

4

时，求tanθ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据BD=1，∠CAD=2∠BAD=2θ，可求出AD与CD，再根据

S2

S1

=

CD

BD

＞4建立关于tanθ的不等式，解之即可求出tanθ的取值范围；
（Ⅱ）根据S1S2＞

9

4

可建立关于tanθ的不等式，然后利用换元法可求出tanθ的取值范围；

解答：解：（Ⅰ）BD=1，AD=

1

tanθ

，CD=ADtan2θ=

1

tanθ

•

2tanθ

1-tan2θ

=

2

1-tan2θ

S2

S1

=

CD

BD

=CD=

2

1-tan2θ

，由

S2

S1

＞4得tan2θ＞

1

2

，
又0＜θ＜

π

4

，故0＜tanθ＜1，从而所求tanθ范围为(

2

2

，1)．
（Ⅱ）由S1S2＞

9

4

，得

1

4

AD2•CD=

1

4

•

1

tan2θ

•

2

1-tan2θ

＞

9

4

，
令tan²θ=x，得9x²-9x+2＞0，故x＞

2

3

或x＜

1

3

，
即tan2θ＞

2

3

或tan2θ＜

1

3

，又0＜θ＜

π

4

，
故

6

3

＜tanθ＜1，或0＜tanθ＜

3

3

．

点评：本题主要考查了已知三角函数模型的应用问题，以及三角不等式的解法，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．