Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AB中点．
（1）求直线B₁C与DM所成角的余弦；　
（2）（文）求点M到平面DB₁C的距离；
（3）（理）求二面角M-B₁C-D的大小．

Answer 1

分析：（1）连接A₁D，由几何体的结构特征可得：A₁D∥B₁，可得B₁C与DM所成角与A₁D与DM所成角相等，再利用解三角形的有关知识求出异面直线所成的角．
（2）设点M到平面DB₁C的距离为h，再根据等体积法即利用VB1-MCD=  VM-B1CD，求出点M到平面DB₁C的距离．
（3）取B₁C的中点F，B₁D的中点G，连接MF，MG，由几何体的结构特征可得：MF⊥B₁C，GF⊥B₁C，进而得到∠MFG是二面角M-B₁C-D的平面角，再利用解三角形的有关知识求出二面角的平面角．

解答：解：（1）连接A₁D，由几何体的结构特征可得：A₁D∥B₁，

所以B₁C与DM所成角与A₁D与DM所成角相等．
连接A₁M，
因为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
所以A1D=2

2

，A1M=DM=

5

，
∴在△A₁MD中由余弦定理可得：cos∠A1DM=

A1D2+A1M2 -DM2

2•A1D•DM

=

10

5

∴直线B₁C与DE所成角的余弦值是

10

5

．
（2）设点M到平面DB₁C的距离为h，
因为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
所以CB₁=2

2

，
所以S△B1CD=

1

2

×CD×B1C=2

2

，S△CDM=

1

2

×CD×2=2，B₁到平面ABCD的距离为2，
又因为VB1-MCD=  VM-B1CD，即

1

3

×S△CDM×2 =

1

3

×S△B1CD×d，
所以h=

2

，
所以点M到平面DB₁C的距离为

2

．
（3）取B₁C的中点F，B₁D的中点G，连接MF，MG，
因为M为AB中点，
所以MC=MB₁，
所以MF⊥B₁C；
因为CD⊥B₁C，GF∥CD，
所以GF⊥B₁C，
所以∠MFG是二面角M-B₁C-D的平面角．
因为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
所以在△MFG中，GF=1，MF=

3

，MG=

2

，
所以根据勾股定理可得△MFG是直角三角形，
所以 cos∠MFG=

FG

MF

=

3

3

，
所以二面角M-B₁C-D的大小为arccos

3

3

．

点评：本题主要考查点到平面的距离，解决此类问题一般利用等体积的方法求出答案，本题还考查的异面直线的夹角与二面角的平面角，解决空间角的关键是结合几何体的结构特征与空间角的定义正确的作出空间角，求空间角的步骤是：①作角，②证明此角即为所求角，③利用解三角形的有关知识求角，此题属于中档题，考查学生的空间想象能力与推理论证的能力．