Question

已知抛物线的焦点F在y轴上，抛物线上一点A(a，4)到准线的距离是5，过点F的直线与抛物线交于M、N两点，过M、N两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T，
(Ⅰ)求抛物线的标准方程；
(Ⅱ)求的值；
( Ⅲ)求证：是和的等比中项。

Answer 1

(Ⅰ)解：由题意可设抛物线的方程为x²=2py(p≠0)，
因为点A(a，4)在抛物线上，所以p＞0，
又点A(a，4)到抛物线准线的距离是5，
所以，+4=5，可得p=2，
所以抛物线的标准方程为x²=4y。
(Ⅱ)解：点F为抛物线的焦点，则F(0，1)，
依题意可知直线MN不与x轴垂直，
所以设直线MN的方程为y=kx+1，
因为MN过焦点F，所以判别式大于0，
设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
 ，
由于，所以，，
切线MT的方程为，   ①
切线NT的方程为，    ②
由①，②得，
则，
所以，。
 (Ⅲ)证明：，
由抛物线的定义，知，
则
，
所以，，
即是和的等比中项。