Question

已知抛物线的焦点F在y轴上，抛物线上一点A（a，4）到准线的距离是5，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，过M，N两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T．
（I）求抛物线的标准方程；
（II）求

FT

•

MN

的值；
（III）求证：|

FT

|是|

MF

|和|

NF

|的等比中项．

Answer 1

分析：（I）先根据题意设出抛物线的方程，再结合点A到抛物线准线的距离可求出p的值，进而可得到抛物线的标准方程．
（II）先求出F的坐标，然后设出直线MN的方程，联立直线与抛物线消去y得到关于x的一元二次方程，表示出两根之和与两根之积，然后表示出

MN

，再对x²=4y进行求导，表示出切线MT、NT的方程后联立解出交点T的坐标，得到

FT

的坐标表示，最后使

FT

•

MN

运算等于0即可．
（III）根据（II）中

FT

的坐标求出|

FT

|2，再结合抛物线的定义课得到|

MF

|=y1+1，|

NF

|=y2+1.，再由|

MF

|•|

NF

|=(y1+1)(y2+1)并将直线方程y=kx+1代入，结合（II）中的两根之和与两根之积可得到|

FT

|2=|

MF

|•|

NF

|.得证．

解答：（I）解：由题意可设抛物线的方程为x²=2py（p≠0）．
因为点A（a，4）在抛物线上，所以p＞0．
又点A（a，4）到抛物线准线的距离是5，所以

p

2

+4=5，可得p=2．
所以抛物线的标准方程为x²=4y．

（II）解：点F为抛物线的焦点，则F（0，1）．
依题意可知直线MN不与x轴垂直，
所以设直线MN的方程为y=kx+1.由

y=kx+1 x2=4y.

得x2-4kx-4=0.
因为MN过焦点F，所以判别式大于零．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．

MN

=(x2-x1，y2-y1)=(x2-x1，k(x2-x1)).
由于x2=4y，所以y′=

1

2

x.
切线MT的方程为y-y1=

1

2

x1(x-x1)，①
切线NT的方程为y-y2=

1

2

x2(x-x2).②
由①，②，得T(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)
则

FT

=T(

x1+x2

2

，

x1x2

4

-1)=(2k，-2)
所以

FT

•

MN

=0.

（III）证明：|

FT

|2=(2k)2+(-2)2=4k2+4.
由抛物线的定义知|

MF

|=y1+1，|

NF

|=y2+1.
则|

MF

|•|

NF

|=(y1+1)(y2+1)=(kx1+2)(kx2+2)
=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4k²+4．
所以|

FT

|2=|

MF

|•|

NF

|.
即|

FT

|是|

MF

|和|

NF

|的等比中项．

点评：本土主要考查直线与抛物线的综合问题以及向量的运算．直线与圆锥曲线是高考的重点问题，常以压轴题的形式出现．