Question

设函数f（x）=-x²+4px-2
（Ⅰ）若对任意x∈R，有f（x）＜0恒成立，求实数p的取值范围；
（Ⅱ）若在区间[1，4]上存在x₀，使f（x₀）＞0成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得，（4p）²-4（-1）（-2）＜0，解出即可；
（Ⅱ）不等式可化为p＞

x2+2

4x

，从而问题可等价转化为p＞(

x2+2

4x

)min，利用基本不等式可求得最小值；

解答：解：（Ⅰ）由题意可得，（4p）²-4（-1）（-2）＜0，即16p²-8＜0，
解得-

2

2

＜p＜

2

2

，
故实数p的取值范围是-

2

2

＜p＜

2

2

；
（Ⅱ）f（x）＞0即-x²+4px-2＞0，
当x∈[1，4]时，不等式可化为p＞

x2+2

4x

，
问题可转化为p＞(

x2+2

4x

)min，
而

x2+2

4x

=

x

4

+

1

2x

≥2

x 4 • 1 2x

=

2

2

，当且仅当x=

2

时取等号，
所以p＞

2

2

；

点评：本题考查二次函数的性质、恒成立问题，考查转化思想，属中档题．