Question

已知f ( x )是定义在[－1，1]上的奇函数，又f ( 1 ) = f (－1 )，当x∈（0，1）时， ．

（1）求函数f ( x )在[－1，1]上的解析式；

（2）指出f ( x )在（－1，1）上的单调性，并说明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1） ∵ 当x∈（0，1）时，，且f ( x )在 [－1，1]是奇函数，  ∴ 当x∈（－1，0）时，， 且f ( 0 ) = 0，f (－1 )=－f ( 1 )． 又   f ( 1 ) = f (－1 )，故f ( 1 ) = －f ( 1 )． ∴  f ( 1 ) = 0，f (－1 ) = 0． 于是 （2）任取x1，x2 使 0< x1< x2 &l t; 1，则： ． 显然， >0，>0， 又当 0< x1< x2 < 1时，，>1， ∴  > 0，即， ∴ f ( x )在（0，1）上是增函数． 任取x1，x2 使－1< x1< x2 < 0，则 0 < (－x2 )< (－x1 ) < 1， ∴ ．又f ( x )是[－1，1]上的奇函数， ∴  ， 于是有  ．∴  ． ∴  f ( x )在（－1，0）上也是增函数．

提示：

当0 < x < 1时，及f ( x )是定义在[－1，1]上的奇函数。对于（2），则应依据函数单调性定义作探索．