Question

已知圆C₁的方程为（x-4）²+（y-1）²=，椭圆C₂的方程为，其离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径．
（Ⅰ）求直线AB的方程和椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）如果椭圆C₂的左右焦点分别是F₁、F₂，椭圆上是否存在点P，使得，如果存在，请求点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先分析得出若直线AB斜率存在，所以可设AB直线方程为y-1=k（x-4），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得b值，从而求出所求椭圆方程；
（Ⅱ）先依据F₁，F₂的中点是原点O，得出与共线，再根据直线AB的方程写出直线PO所在的直线方程，最后与椭圆的方程联立方程组即可解得P点坐标．
解答：解：（Ⅰ）若直线AB斜率不存在，则直线AB的方程为x=4，由椭圆的对称性可知，A，B两点关于x轴对称，A，B的中点为（4，0），又线段AB恰为圆C₁的直径，则圆心为（4，0），这与已知圆心为（4，1）矛盾，
因此直线AB斜率存在，（1分）
所以可设AB直线方程为y-1=k（x-4），且设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵，∴
设椭圆方程，（2分）
将AB直线方程为y-1=k（x-4）代入到椭圆方程得，
即（1+4k²）x²-8k（4k-1）x+4（4k-1）²-4b²=0（1），（4分）
，
解得k=-1，
故直线AB的方程为y=-x+5，（6分）
将k=-1代入方程（1）得5x²-40x+100-4b²=0．x₁+x₂=8，，△＞0，得b²＞5．（7分）
|AB|=，得，解得b²=9．
故所求椭圆方程为．（8分）
（Ⅱ）因为F₁，F₂的中点是原点O，
所以，所以与共线，（10分），
而直线AB的方程为y=-x+5，
所以直线PO所在的直线方程为y=-x．
∴，或．
所以P点坐标为，．（12分）
点评：本小题主要考查圆与圆锥曲线的综合、直线的一般式方程、椭圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．