Question

对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数．

       （1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；

第一组：；

第二组：；

       （2）设，生成函数．若不等式

在上有解，求实数的取值范围；

       （3）设，取，生成函数图像的最低点坐标为．若对于任意正实数且．试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）① 设，即，

取，所以是的生成函数．………………………2分

② 设，即，

则，该方程组无解．所以不是的生成函数．…………4分

（2）   ………………………5分

，即，     ………………………6分

也即                  ………………………7分

因为，所以              ………………………8分

则                  ………………………9分

函数在上单调递增，．故，．……10 分

（3）由题意，得，则

，解得，所以 ……………………12分

假设存在最大的常数，使恒成立．

于是设

=

令，则，即……………………………16分

设，．

设，

， ，所以在上单调递减，

，故存在最大的常数…………………………………18分