题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ sinxcosx+cos²x．
（1）写出函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）若函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，且0＜x₀＜1，求x₀的值．

解：（1）f（x）= $\text{[math]}$ sinxcosx+cos²x
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴T= $\text{[math]}$ =π．
由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），
得kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）．
∴y的单调递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）．
（2）∵f（x）的图象关于直线x=x₀对称，
∴2x₀+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，x₀= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （k∈Z）．
∵0＜x₀＜1，∴x₀= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先根据二倍角和两角和公式对函数解析式化简，根据T= $\text{[math]}$ 求得函数的最小正周期，进而根据正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调增区间．
（2）先根据函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，可推断出2x₀+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，进而求得x₀的集合，进而根据x₀的范围求得x₀的值．
点评：本题主要考查了正弦函数的单调性，两角和公式，二倍角公式的运用．解题的关键是熟练掌握三角函数基础知识．

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