Question

已知函数，其中.

    （Ⅰ）求证：是是奇函数的充要条件；

（Ⅱ）若常数n=－4且对任意恒成立，求的取值范围.

Answer 1

解：（I）充分性：若，则,      ∴，

又有，∴为奇函数.                 

必要性：若为奇函数，∵，

∴，即，∴.            

由，有，∴.

∴    为奇函数，则，即.                               

∴是为奇函数的充要条件.                                            

（Ⅱ）若时，恒成立；                             

         若时，原不等式可变形为.   即.

①  ②

∴只需对，满足                                   

对①式在上单调递减.

∴.          ③

对②式，设，根据单调函数的定义可证明在上单调递增，

∴.

∴. ④

由③④知.