Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，O为AB中点．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）若AB=CB=2，A₁C=

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，求证：A₁O⊥平面ABC．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的性质可得 OC⊥AB，再根据△AA₁B为等边三角形，可得OA₁⊥AB，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AB⊥平面A₁OC，从而证得AB⊥A₁C．
（2）先利用勾股定理证明A1C2=OC2+OA12，可得 OA₁⊥OC．再结合A₁O⊥AB，证得A₁O⊥平面ABC．

解答：解：（1）由于AB的中点O，连接OC、OA₁，
因为CA=CB，所以OC⊥AB．
由于AB=A A₁，∠BA A₁=60⁰，故△AA₁B为等边三角形，
所以OA₁⊥AB．
OC∩OA₁=O，∴AB⊥平面A₁OC，而A₁C?平面A₁OC，∴AB⊥A₁C．
（2）由题设知△ABC与△AA₁B 都是边长为2的等边三角形，
所以，∴OC=OA1=

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，又 A1C=

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，则A1C2=OC2+OA12，∴OA₁⊥OC．
∵OC∩AB=C，∴A₁O⊥平面ABC．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，直线和平面垂直的性质定理的应用，属于中档题．