题目内容

若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）的定义域为开区间（3，10），函数f（x）的值域是一个左闭右开的区间，则满足要求的函数f（x）的解析式可以是f（x）=
 
（写出一个解析式即可）．
分析：要求值域为左闭右开，必然有最小值1个且不能有最大值，区间（3，10）的长度应该不长于
T
2
，根据这些信息可以得到满足要求的函数f（x）的解析式．
解答：解：∵函数f（x）的值域是一个左闭右开的区间，
∴函数f（x）必然有且只有一个最小值，而且不能有最大值，
   又 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）的定义域为开区间（3，10），
  
T
2
＞7，即
2π
ω
＞14，不妨令
2π
ω
=16，则ω=
π
8
，再令φ=π，A=1，
   则f(x)=sin(
π
8
x+π)，由3＜x＜10， 
11π
8
＜
πx
8
+π＜
9π
4
，
∴-1≤f(x)＜
2
2
，满足题意．
  故答案为：f(x)=sin(
π
8
x+π)．
点评：本题考查三角函数的图象与性质，解决问题的难点在于对“函数f（x）的值域是一个左闭右开的区间”的理解与应用，解决的方法是特值法，属于难题．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

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