Question

（2012•宁德模拟）已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l．
（1）求经过点F的直线l相切，且圆心在直线x-1=0上的圆的方程；
（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M，求点M横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出抛物线y²=4x的焦点与准线方程，设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，利用经过点F的直线l相切，且圆心在直线x-1=0上的圆的方程，建立方程组，即可求得圆的方程；
（2）设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0）代入抛物线方程，消元，确定P的坐标，求得线段AB的垂直平分线方程，求得与x轴交于点M的横坐标，即可确定M的取值范围．

解答：解：（1）抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线为l为x=-1，设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵经过点F的直线l相切，且圆心在直线x-1=0上的圆的方程，
∴

a-1=0 a-(-1)=r (a-1)2+b2 =r

∴

a=1 b=2 r=2

或

a=1 b=-2 r=2

∴圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=4，或（x-1）²+（y+2）²=4；
（2）依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为P
将直线方程代入抛物线方程，消元可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

，∴xP=1+

2

k2

∴yP=

2

k

，
∴线段AB的垂直平分线方程为y-

2

k

=-

1

k

(x-1-

2

k2

)
∴x轴交于点M的横坐标为xM=3+

2

k2

＞3
∴M的取值范围是（3，+∞）．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是利用待定系数法求圆的方程，属于中档题．