Question

4．已知{a_n}，{b_n}均为等比数列，其前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若a₁=8，b₂=24，且对任意的n∈N^*，总有$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}+1}{4}$，求数列{na_n]的前n项和P_n；
（2）当n≤3时，b_n-a_n=n，若数列{a_n}唯一，求S_n．

Answer 1

分析 （1）通过在$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}+1}{4}$中分别令n=1、2，结合a₁=8、b₂=24，可得a₂=72、b₁=8，进而利用错位相减法计算即得结论；
（2）通过b_n-a_n=n（n≤3）整理可知a₁q²-4a₁q+3a₁-1=0，对其根的判别式进行讨论即可．

解答 解：（1）依题意，$\frac{{S}_{1}}{{T}_{1}}$=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=$\frac{3+1}{4}$=1，$\frac{{S}_{2}}{{T}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{{b}_{1}+{b}_{2}}$=$\frac{{3}^{2}+1}{4}$，
又∵a₁=8，b₂=24，
∴a₂=72，b₁=8，
又∵数列{a_n}、{b_n}均为等比数列，
∴a_n=8•9^n-1，b_n=8•3^n-1，
∴P_n=8（1•1+2•9+3•9²+…+n•9^n-1），
9P_n=8[1•9+2•9²+…+（n-1）•9^n-1+n•9ⁿ]，
两式相减得：-8P_n=8（1+9+9²+…+9^n-1-n•9ⁿ），
∴P_n=n•9ⁿ-（1+9+9²+…+9^n-1）
=n•9ⁿ-$\frac{1-{9}^{n}}{1-9}$
=$\frac{1}{8}$+$\frac{8n-1}{8}$•9ⁿ；
（2）依题意，b₁=1+a₁，b₂=2+a₂，b₃=3+a₃，
设数列{a_n}的公比为q，则
（2+a₂）²=（1+a₁）（3+a₃），即（2+a₁q）²=（1+a₁）（3+a₁q²），
整理得：a₁q²-4a₁q+3a₁-1=0，
又∵数列{a_n}唯一，
∴若上式为完全平方式，则：
当△=$（-4{a}_{1}）^{2}$-4a₁（3a₁-1）=4${{a}_{1}}^{2}$+4a₁=0时，
解得：a₁=-1（舍）或a₁=0（舍）；
当△＞0，且a₁q²-4a₁q+3a₁-1=0有一个零根和非零根时，
由韦达定理可知：3a₁-1=0，即a₁=$\frac{1}{3}$，此时q=4；
当△＞0且两根都不为零时，但是若有一根可以使b_n中有项为0，则与b_n为等比数列矛盾，
那么这样的话关于a_n的方程虽然两根都不为0，但使得b_n中有0项的那个根由于与题目矛盾所以必须舍去，
这样a_n也是唯一的，由此易求出a₁=-$\frac{4}{3}$，此时q=$\frac{3}{2}$（舍）或$\frac{5}{2}$；
∴当a₁=$\frac{1}{3}$、q=4时，S_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{9}$；
当a₁=-$\frac{4}{3}$、q=$\frac{5}{2}$时，S_n=$\frac{-\frac{4}{3}（1-\frac{{5}^{n}}{{2}^{n}}）}{1-\frac{5}{2}}$=$\frac{8（{2}^{n}-{5}^{n}）}{9•{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．