Question

（2009全国卷Ⅰ文）(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）

   如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。       

（I）证明：是侧棱的中点；

求二面角的大小。（同理18）                  

Answer 1

【解析】本小题考查空间里的线线关系、二面角，综合题。

（I）解法一：作∥交于N，作交于E，

连ME、NB，则面，,

设，则,

在中，。

在中由

解得，从而 M为侧棱的中点M.

解法二:过作的平行线.

（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.

法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.

解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。

（Ⅰ）设，则

，

，由题得

，即

解之个方程组得即

所以是侧棱的中点。  

法2：设，则

又

故，即

，解得，

所以是侧棱的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，

设分别是平面、的法向量，则

且，即且

分别令得，即

，

∴   

二面角的大小。