Question

如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，过点H（0，t）的直线l于圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）当t=1时，求出直线l的方程；
（3）求直线OM的斜率k的取值范围．

Answer 1

（1）因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1），所以圆心C在直线y=1上，
设圆C与x轴的交点分别为A、B，
由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2：1，得∠ACB=

2π

3

，
所以CA=CB=2，圆心C的坐标为（-2，1），
所以圆C的方程为：（x+2）²+（y-1）²=4．
（2）当t=1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=mx+1，
由

y=mx+1 (x+2)2+(y-1)2=4

得

x=0 y=1

或

x= -4 m2+1 y= m2-4m+1 m2+1

，
不妨令M(

-4

m2+1

，

m2-4m+1

m2+1

)，N(0，1)，
因为以MN为直径的圆恰好经过O（0，0），
所以

OM

•

ON

=(

-4

m2+1

，

m2-4m+1

m2+1

)•(0，1)=m

m2-4m+1

m2+1

=0，
解得m=2±

3

，所以所求直线l方程为y=(2+

3

)x+1或y=(2-

3

)x+1．
（3）设直线MO的方程为y=kx，
由题意知，

|-2k-1|

1+k2

≤2，解之得k≤

3

4

，
同理得，-

1

k

≤

3

4

，解之得k≤-

4

3

或k＞0．由（2）知，k=0也满足题意．
所以k的取值范围是(-∞，-

4

3

]∪[0，

3

4

]．