Question

9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=60°，b=1，c=3．
（1）求a的值；
（2）求$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求a的值；
（2）由正弦定理可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，再求$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$的值．

解答 解：（1）∵A=60°，b=1，c=3，
∴a=$\sqrt{1+9-2×1×3×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$；
（2）由正弦定理可得$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{sinB}=\frac{3}{sinC}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$
$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosB}{sinB}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sin（B+C）}{sinBsinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}•\frac{2\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{14\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．