Question

16．如图已知：AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD⊥AB于D，⊙N与⊙O内切且与AB，CD分别切于E，F，求证：AC=AE．

Answer 1

分析 利用射影定理与勾股定理，即可证明结论．

解答 证明：连接BC，设AD为x，ED为r，大圆的半径是R
在大圆中用射影定理与勾股定理，BD•AD=CD²，和AD²+CD²=AC²，
得x•（2R-x）+x²=AC²得2Rx=AC²．
在△ONE中用勾股定理得（r+x-R）²+r²=（R-r）²，
∴（r+x）²=2Rx
又AE=r+x，
∴AE²=AC²，
∴AC=AE．

点评 本题考查射影定理与勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．