Question

【题目】已知递增数列的前项和为，且满足，.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）试求所有的正整数，使得为整数；

（3）证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）见解析

【解析】

（1）根据，得出，利用，即可得出，或，再结合题意为递增数列，确定得，结合等差数列定义法，即可证出数列为等差数列；

（2）由（1）知，数列为等差数列，首项为，公差，则，化简得，结合和，则且为奇数，即可求出正整数；

（3）由，利用放缩法和裂项相消法求和得出，进而得出，要证，则需证，转化为证，

当时，上式显然成立，时，原不等式左边为，原不等式右边为，则原不等式成立，从而即可证明.

解：（1）由题可知，，，

则①，

得②，

由①-②得：，

即：，

即：，

所以或，

即：或，

若，则有，而，所以，

即，这与数列递增矛盾，所以应舍去，

所以，故数列为等差数列.

（2）由（1）知，数列为等差数列，首项为，公差，

则，

故：

，

即，

因为，所以，

由于，则且为奇数，

所以，故.

（3）由（2）可知，，则，

由于，

即：

所以

即：，

要证，则需证，

即证：，

化为：，

即为：，

当时，上式显然成立，即成立，

又时，原不等式左边，原不等式右边，则原不等式成立，

所以综上可得：.