Question

已知三棱锥A-BCD，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD=1，AB⊥AD，DB=DC，DB⊥DC 
（1）求证：AB⊥平面ADC；
（2）求三棱锥A-BCD的体积；
（3）求二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）由平面ABD⊥平面BCD且DB⊥DC，利用面面垂直的性质定理证出CD⊥平面ABD，从而得到CD⊥AB，结合AB⊥AD利用线面垂直判定定理，即可证出AB⊥平面ADC．
（2）取BD的中点O，连结AO，等腰Rt△ABD中证出A0⊥BD，进而根据平面ABD⊥平面BCD证出A0⊥平面BCD，可得AO是三棱锥A-BCD的高，再根据题中数据利用锥体体积公式加以计算，可得三棱锥A-BCD的体积；
（3）过O作OE⊥BC于点E，连结AE，根据三垂线定理证出AE⊥BC，从而可得∠AEO为二面角A-BC-D的平面角．Rt△AEO中算出OE=

1

2

，根据AO=

2

2

利用正切的定义算出tan∠AEO=

2

，即得二面角A-BC-D的正切值．

解答：解：（1）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，DB⊥DC．
∴CD⊥平面ABD，
∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB，
又∵AB⊥AD，且AD∩AB=B，∴AB⊥平面ADC．
（2）取BD的中点O，连结AO，
∵AB=AD=1，AB⊥AD，∴△ABD为等腰直角三角形，
∴A0⊥BD，且AO=

2

2

，BD=

2

．
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，A0⊥BD，
∴A0⊥平面BCD，即AO是三棱锥A-BCD的高，
∵DB=DC，DB⊥DC．∴CD=BD=

2

，
即△BCD的面积S=

1

2

×

2

×

2

=1，
∴三棱锥A-BCD的体积V=

1

3

×S×AO=

1

3

×1×

2

2

=

2

6

．
（3）过O作OE⊥BC于点E，连结AE，
∵AO⊥平面BCD，可得OE是AE在平面BCD内的射影，
∴AE⊥BC，可得∠AEO为二面角A-BC-D的平面角．
Rt△BOE中，BO=

2

2

，∠OBE=45°，可得OE=BOsin45°=

1

2

，
∴Rt△AEO中，tan∠AEO=

AO

OE

=

2

，即得二面角A-BC-D的正切值等于

2

．

点评：本题在给定三棱锥中求证线面垂直，并求二面角的正切值与锥体的体积．着重考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质、锥体的体积公式和二面角的平面角的定义及求法等知识，属于中档题．