Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a²+b²+ab=c²．
（Ⅰ） 求角C的度数； 
（Ⅱ） 若a+b=10，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数； 
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b及cosC的值代入，利用基本不等式求出c的最小值，即可确定出周长的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵a²+b²+ab=c²，即a²+b²-c²=ab，
由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=-

1

2

，
∵0＜C＜180°，∴C=120°；
（Ⅱ）∵a+b=10，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-abcosC=c²=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=100-ab≥100-（

a+b

2

）²=75，
∴c≥5

3

，当a=b=5时取等号，
则△ABC周长的最小值为a+b+c=10+5

3

．

点评：此题考查了余弦定理，完全平方公式及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．