Question

如下图，已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB和BC的中点，试问在棱DD₁上能否找到一点M，使BM⊥平面B₁EF？若能，试确定点M的位置；若不能，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

证明：如下图，取DD1的中点M，AA1的中点P，CC1的中点Q． 　　连结MP、MQ、BP、BQ，易证得MP⊥面ABB1A1， 　　∴MP⊥B1E． 　　又由平面几何知BP⊥B1E，∴B1E⊥平面MBP． 　　∴B1E⊥MB． 　　同理可得BM⊥B1F． 　　又B1E∩B1F＝B1，∴BM⊥平面B1EF． 　　[规律总结]证线面垂直常用的方法有： 　　(1)利用定义，证明直线垂直于平面内的两条相交直线； 　　(2)运用线面垂直的性质定理：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 　　上述结论“BP⊥B1E”的证明可以为：Rt△ABP≌Rt△BB1E，进一步可推得BP⊥B1E．