Question

已知函数f（x）=xlnx．
（I）求f（x）的单调区间及极值；
（II）若关于x的不等式f′（x）≤ax-a+1恒成立，求实数a的集合．

Answer 1

分析：（I）由原函数的解析式，我们易求出函数的导函数，进而根据导函数的零点对函数的定义域进行分段讨论后，即可得到答案；
（II）由f′（x）≤ax-a+1恒成立，得lnx-ax+a≤0，对参数a进行讨论，设g（x）=lnx-ax+a，由此能求出g（x）最大值，只需使该最大值≤0，从而能求出实数a的取值范围．

解答：解：（I）函数的定义域为（0，+∞）．
因为f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，即x=

1

e

，
当0＜x＜

1

e

时，f′（x）＜0；当x＞

1

e

时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递减区间为（0，

1

e

），单调递增区间为（

1

e

，+∞）．
故f（x）在x=

1

e

处取得极小值f（

1

e

）=-

1

e

，
（II）由f′（x）=lnx+1知，不等式f′（x）≤ax-a+1恒成立，得lnx-ax+a≤0恒成立，
①若a≤0，则当x＞1时，lnx＞0，-ax+a=-a（x-1）≥0
即lnx-ax+a＞0与条件矛盾；                              
②若a＞0，令g（x）=lnx-ax+a，则g′(x)=

a( 1 a -x)

x

，
当0＜x＜

1

a

时，g′（x）＞0；当x＞

1

a

时，g′（x）＜0，
所以g（x）_max=g（

1

a

）=ln

1

a

-1+a=-lna+a-1，
所以要满足条件不等式恒成立，只需-lna+a-1≤0即可，
再令h（a）=-lna+a-1，则 h′(a)=

a-1

a

，
当0＜a＜1时，h′（a）＜0，当a＞1时，h′（a）＞0，
所以h（a）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增，即h（a）_min=h（1）=0，所以a=1
综上所述，a的取值集合为{a|a=1}．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的灵活运用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．