Question

平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形ACBD面积的最大值.

Answer 1

 解  （Ⅰ）设A (x ₁, y ₁) ，B (x ₂, y ₂)，P (x ₀, y ₀)

⇒⇒ =  ⇒ k_AB = 

OP的斜率为 ⇒ = 2，直线x + y = 0的斜率为1 ⇒ k_AB =1

⇒1= ⇒ a² = 2b²  ……①

由题意知直线x + y = 0与x轴的交点F(，0)是椭圆的右焦点，则才c =

⇒a² b² = 3  ……②

联立解得①、②解得a² = 6，b² = 3

所以M的方程为：+ = 1

（Ⅱ）联立方程组，解得A(,  )、B(0, )，求得| AB | =

依题意可设直线CD的方程为：y = x + m

CD与线段AB相交⇒ < m <

联立方程组 消去x得：3_{x 2} + 4m_x +2m²  6 = 0 …… (_*)

设C (x ₃, y ₃)，D (x ₄, y ₄)，则| CD |² = 2(x _{3 } x ₄)² = 2[(x _{3 +} x ₄)² 4x ₃x _{4]= (9}  m²₎

四边形ACBD的面积S = | AB |• | CD | =

_{当n = 0时，}S最大，最大值为_.

_所以四边形ACBD的面积最大值为_.