Question

【题目】已知，是离心率为的椭圆 两焦点，若存在直线，使得，关于的对称点的连线恰好是圆 的一条直径.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的上顶点作斜率为，的两条直线，，两直线分别与椭圆交于，两点，当时，直线是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；(2)定点

【解析】

（1）由对称可知，椭圆焦距等于圆的直径，从而得到，再由离心率，求出，得出椭圆方程；（2）设直线，联立椭圆得到韦达定理，再由列出关系式，代入韦达定理，可解出，从而得到直线所过定点.

（1）将圆的方程配方得

所以其圆心为半径为1.

由题意知，椭圆焦距为等于圆直径，所以

又，所以，

椭圆的方程为；

（2）因为，所以直线斜率存在，

设直线,，

消理得

，（*）

又理得

即

所以

（*）代入得

整理的得,

所以直线定点