Question

已知y=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，t∈R．
（1）当x为常数，t在区间[0，

2

3

]变化时，求y的最小值为φ（x）；
（2）证明：对任意的t∈（0，+∞），总存在x₀∈（0，1），使得y=0．

Answer 1

分析：（1）当x为常数时，设f（t）=4x³+3tx²-6t²x+t-1=-6xt²+（3x²+1）t+4x³-1，是关于y的二次函数．利用二次函数图象与性质求解
（2）设g（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，按照零点存在性定理去判断．可利用导数计算函数的极值，有关端点值，作出证明．

解答：解：（1）当x为常数时，
设f（t）=4x³+3tx²-6t²x+t-1=-6xt²+（3x²+1）t+4x³-1，f'（t）=-12xt+（3x²+1）
①当x≤0时，由t∈[0，

2

3

]知f'（t）＞0，f（t）在[0，

2

3

]上递增，其最小值φ（x）=f（0）=4x³-1；                               …（2分）
②当x＞0时，f（t）的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为直线；t=-

3x2+1

-12x

=

3x2+1

12x

，
若

x＞0 3x2+1 12x ≤ 1 3

，即

1

3

≤x≤1，则f（t）在[0，

2

3

]上的最小值为φ(x)=f(

2

3

)=4x3+2x2-

8

3

x-

1

3

．…（4分）
若

x＞0 3x2+1 12x ＞ 1 3

，即0＜x＜

1

3

或x＞1，则f（t）在[0，

2

3

]上的最小值为φ（x）=f（0）=4x³-1．…（6分）
综合①②，得φ(x)=

4x3-1， x＜ 1 3 或x＞1 4x3+2x2- 8 3 x- 1 3 ， 1 3 ≤x≤1

…（7分）
（2）证明：设g（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1
则g′(x)=12x2+6tx-6t2=12(x+1)(x-

t

2

)…（8分）
由t∈（0，+∞），当x在区间（0，+∞）内变化时，g'（x），g（x）取值的变化情况如下表：

…（10分）
①当

t

2

≥1，即t≥2时，g（x）在区间（0，1）内单调递减，g（0）=t-1＞0，g（1）=-6t²+4t+3=-2t（3t-2）+3≤-4（6-2）+3＜0．
所以对任意t∈[2，+∞），g（x）在区间（0，1）内均存在零点，即存在x₀∈（0，1），
使得g（x₀）=0．…（11分）
②当0＜

t

2

＜1，即0＜t＜2时，g（x）在(0，

t

2

)内单调递减，在(

t

2

，1)内单调递增，
若t∈（0，1），则g(

t

2

)=-

7

4

t3+t-1≤-

7

4

t3＜0，g（1）=-6t²+4t+3≥-6t+4t+3=-2t+3≥1＞0，
所以g（x）在(

t

2

，1)内存在零点；               …（12分）
若t∈（1，2），则g（0）=t-1＞0，g(

t

2

)=-

7

4

t3+(t-1)＜-

7

4

×13+(2-1)＜0，
所以g（x）在(0，

t

2

)内存在零点．
所以，对任意t∈（0，2），g（x）在区间（0，1）内均存在零点，即存在x₀∈（0，1），使得g（x₀）=0．…（13分）
综合①②，对任意的t∈（0，+∞），总存在x₀∈（0，1），使得y=0．…（14分）

点评：本题考查函数单调性与导数关系的应用，函数最值的应用：通过极值探讨零点．综合性强．