Question

一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为多少km（　　）

• A．20

  3

• B．30

  2

• C．15

  2

• D．30

  3

Answer 1

分析：设过B点的南北方向直线与直线AB交于点D，且CD=xkm，结合题中数据在Rt△BCD中算出BD=（2+

3

）xkm，然后在Rt△ADB中算出AD=（2

3

+3）x，根据AC=AD-CD=15×4=60km建立关于x的方程解出x=15（

3

-1）km，最后在Rt△BCD中利用三角函数的定义加以计算，即可算出此时的船与灯塔的距离．

解答：解：设根据题意，可得
Rt△BCD中，设CD=xkm，
∵∠CBD=15°，∴tan∠CBD=

CD

BD

=（2-

3

）x
由此可得BD=

CD

2- 3

=（2+

3

）xkm
∵Rt△ADB中，∠ABD=60°
∴AD=

3

BD=（2

3

+3）x
因此，AC=AD-CD=（2

3

+3）x-x=15×4
即（2

3

+2）x=60，解之得x=15（

3

-1）km
由此可得Rt△BCD中，BC=

CD

sin15°

=

15( 3 -1)

6 - 2 4

=30

2

km，即此时的船与灯塔的距离为30

2

km
故选：B

点评：本题给出实际应用问题，求航行过程中船与灯塔的距离．着重考查了利用正余弦定理解三角形、直角三角形中三角函数的定义和方位角的概念等知识，属于中档题．