题目内容

已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1,公比为q的等比数列.

(1)求和:a1-a2+a3,a1-a2+a3-a4;

(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明.

解:(1)a1-a2+a3=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2,

a1-a2+a3-a4;=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3.

(2)归纳概括的结论为:若数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,

则a1;-a2+a3-a4+…+(-1)nan+1·=a1(1-q)n,n为正整数.

证明:a1-a2+a3-a4+…+(-1)nan+1

=a1-a1q+a1q2-a1q3+…(-1)na1qnn

=a1［-q+q2-q3+…+(-1)nqn］

=a1(1-q)n.

练习册系列答案
相关题目
已知数列{an-n}是等比数列，且满足a1=2，an+1=3an-2n+1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
（2011•韶关模拟）已知数列{an} (n∈N*)满足：a1=1，an+1-sin2θ•an=cos2θ•cos2nθ，其中θ∈(0，
π
2
)．
（1）当θ=
π
4
时，求{an}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列{bn}中，bn=sin
πan
2
+cos
πan-1
4
(n∈N*，n≥2)，且b1=1．求证：对于?n∈N*，1≤bn≤
2
恒成立；
（3）对于θ∈(0，
π
2
)，设{an}的前n项和为Sn，试比较Sn+2与
4
sin22θ
的大小．
已知数列{an}(n∈N*)是等比数列，且an＞0，a1=2，a3=8，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜1；
（3）设bn=2log2an+1，求数列{bn}的前100项和．
（2013•松江区二模）已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，数列{
Sn
n
}是首项为0，公差为
1
2
的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)，对任意的正整数k，将集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为dk，求dk；
（3）对（2）题中的dk，设A（1，5d1），B（2，5d2），动点M，N满足
MN
=
AB
，点N的轨迹是函数y=g（x）的图象，其中g（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，g（x）=lgx，动点M的轨迹是函数f（x）的图象，求f（x）．
（2013•松江区二模）已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，数列{
Sn
n
}是首项为0，公差为
1
2
的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)，对任意的正整数k，将集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为dk，求证：数列{dk}为等比数列；
（3）对（2）题中的dk，求集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数．

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