Question

已知双曲线C：

x2

2

-

y2

b2

=1(b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，P，M为C上任意点，∠F1PF2=

π

2

，S△PF1F2=1，N(

3

2

，1)，则

6

3

|MF2|+|MN|的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由双曲线的方程可得 a=

2

，c=

2+b2

，由条件可得双曲线的方程为为

x2

2

-y2=1，过M作右准线
的垂线MH，H为垂足，由双曲线的定义可得|MH|=

6

3

|MF₂|，故 

6

3

|MF2|+|MN|=|MH|+|MN|≥|NH|．

解答：解：由双曲线的方程可得 a=

2

，c=

2+b2

，F₁ （-c，0），F₂  （c，0）．
设点P的坐标为（m，n），n＞0，则有

n-0 m+ 2+b2 • n m- 2+b2 =-1 m2 2 - n2 b2 =1 1 2 ×2 2+b2 ×n = 1

，解得  b²=1，
故双曲线的方程为

x2

2

-y2=1，故c=

3

，e=

3

2

=

6

2

．过M作右准线 x=

2

3

  的垂线MH，H为垂足，
 由双曲线的定义可得

|MF2|

|MH|

=e=

6

2

，∴|MH|=

6

3

|MF₂|．
 故 

6

3

|MF2|+|MN|=|MH|+|MN|≥|NH|=

3

2

-

2

3

=

9-4 3

6

，
当且仅当M、N、H 三点共线时取等号．

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到|MH|=

6

3

|MF₂|，是解题的关键．