Question

点P是双曲线

y2

9

-

x2

16

=1的上支上的一点，F₁，F₂分别为双曲线的上、下焦点，则△PF₁F₂的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是（　　）

A．y=-3

B．y=3

C．x²+y²=5

D．y=3x²-2

Answer 1

分析：根据题意，设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点C，由圆的切线长定理得|PA|=|PB|，|F₁B|=|F₁C|且|F₂A|=|F₂C|，结合双曲线的定义算出在实轴上的切点C坐标为（0，3）．因为CM⊥y轴，所以得到CM所在直线方程为y=3，得到本题答案．

解答：解：∵双曲线的方程为

y2

9

-

x2

16

=1，
∴a²=9，b²=16，得c=

a2+b2

=5
设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点C，
则|PA|=|PB|，|F₁B|=|F₁C|，|F₂A|=|F₂C|，
又∵点P在双曲线上支上，
∴|PF₂|-|PF₁|=2a=6，
即（|F₂A|+|PA|）-（|F₁B|+|PB|）=6，化简得|F₂A|-|F₁B|=6，
即|F₂C|-|F₁C|=6，而|F₁C|+|F₂C|=2c=10，
设C点坐标为（0，λ），由|F₂C|-|F₁C|=6可得（λ+5）-（5-λ）=6
解之得λ=3，得C的坐标为（0，3）
∵圆M与F₁F₂切于点C，
∴CM⊥y轴，可得CM所在直线方程为y=3

点评：本题给出双曲线的焦点三角形，求三角形的内切圆圆心满足的条件，着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、三角形的内切圆、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．