题目内容

已知函数f（x）=a_n-1x²+（1-a_n）x+a_n-1，（x＞0，n≥2）
（1）若f（1）=0，a₁=1，求数列{a_n}的通项公式
（2）若a_n＞1，（n∈N^），至少存在一个正数x，使f（x）≤0成立，
求证： $数学公式$ … $数学公式$ （n∈N^）

解：（1）f（1）=a_n-1+1-a_n+a_n-1=0?a_n=2a_n-1+1?a_n+1=2（a_n-1+1）
∴a_n+1=2ⁿ?a_n=2ⁿ-1，（n∈N^*）
证明：（2）由韦达定理分析易知，方程f（x）=0有根则必有正根，∴只需△≥0即可 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$
分析：（1）根据f（1）=0，a₁=1，可得a_n=2a_n-1+1，变形得a_n+1=2（a_n-1+1），从而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由韦达定理分析易知，方程f（x）=0有根则必有正根，从而只需△≥0即可，然后利用等比数列求和公式可得 $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ ，证得结论．
点评：本题主要考查了构造法求数列的通项公式，同时考查了韦达定理的运用和等比数列的求和，是一道数列与不等式综合的题，有一定的难度．