Question

在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠C=2∠A．
（1）若△ABC为锐角三角形，求

c

a

的取值范围；
（2）若cosA=

3

4

，a+c=20，求b的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简所求的式子，把∠C=2∠A代入，并利用二倍角的正弦函数公式化简得到结果为2cosA，由三角形为锐角三角形，且∠C=2∠A，可求出A的取值范围，根据余弦函数的图象与性质得出余弦函数cosA的值域，进而确定出所求式子的范围；
（2）由第一问得出的

c

a

=2cosA及cosA的值，得出

c

a

的值，与a+c=20联立组成方程组，求出方程组的解集得到a与c的值，最后由a，c及cosA的值，利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．

解答：解：（1）根据正弦定理有

c

a

=

sinC

sinA

=

sin2A

sinA

=2cosA，（2分）
在△ABC为锐角三角形中，可得三个角都为锐角，
由C=2A，得到C＞A，
可得C＞60°，即2A＞60°，解得：A＞30°，
同时C＜90°，即2A＜90°，解得：A＜45°，（4分）
∴30°＜A＜45°，
∴cosA∈（

2

2

，

3

2

），即2cosA∈（

2

，

3

），
则

c

a

∈(

2

，

3

)；（6分）
（2）由（1）

c

a

=2cosA，又cosA=

3

4

，
得

c

a

=

3

2

，与a+c=20联立得：

c a = 3 2 a+c=20

⇒

a=8 c=12

，（8分）
再由余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA，
即64=b²+144-18b，
解得b=8或b=10，（10分）
若a=8，可得a=b，三角形为等腰三角形，
又∠C=2∠A，
可得∠C为直角，
即三角形为等腰直角三角形，即∠A=45°，
可得cosA=

2

2

≠

3

4

，故b=8要舍去．
则b=10．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及余弦函数的定义域和值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．同时注意b=8舍去的原因．