Question

已知抛物线x²=6y的焦点为F，椭圆C：的离心率为，P是它们的一个交点，且|PF|=2．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆C交于两点A、B，点D满足=0，直线FD的斜率为k₁，试证明．

Answer 1

【答案】分析：（I）设P（x_p，y_p），根据抛物线定义能够求出，，由此可以求出椭圆C的方程．
（II）由题意知点D为线段AB的中点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x_D，y_D），由题意知x_D=-4ky_D，，从而求出，进而得到，由此可知．
解答：解：（I）设P（x_p，y_p），根据抛物线定义，，
∴，（2分）
∵，即，
∴a²=4b²，椭圆是，（4分）
把代入，得a=2，b=1，椭圆C的方程为；（6分）
（II）：∵，
∴，点D为线段AB的中点（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x_D，y_D），
∵，
∴x_D=-4ky_D，
由y_D=k•x_D+m，得，（10分）
∵，
∴，
∴，
∴．（12分）
点评：本题考查直线和圆锥轴线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．