Question

已知抛物线x²=6y的焦点为F，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为e=

3

2

，P是它们的一个交点，且|PF|=2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆C交于两点A、B，点D满足

AD

+

BD

=0，直线FD的斜率为k₁，试证明k•k1＞-

1

4

．

Answer 1

分析：（I）设P（x_p，y_p），根据抛物线定义能够求出yp=

1

2

，xp=±

3

，由此可以求出椭圆C的方程．
（II）由题意知点D为线段AB的中点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x_D，y_D），由题意知x_D=-4ky_D，yD=

m

1+4k2

＞0，从而求出k1=

yD- 3 2

xD

=

yD- 3 2

-4kyD

-

1

4k

+

3

8kyD

，进而得到k•k1=-

1

4

+

3

8yD

，由此可知k•k1＞-

1

4

．

解答：解：（I）设P（x_p，y_p），根据抛物线定义，yp=

1

2

，
∴xp=±

3

，（2分）
∵e=

3

2

，即

1- b2 a2

=

3

2

，
∴a²=4b²，椭圆是

x2

4b2

+

y2

b2

=1，（4分）
把P(±

3

，

1

2

)代入，得a=2，b=1，椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；（6分）
（II）：∵

AD

+

BD

=0，
∴

AD

=

DB

，点D为线段AB的中点（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x_D，y_D），
∵

x12 4 +y12=1 x22 4 +y22=1

，
∴x_D=-4ky_D，
由y_D=k•x_D+m，得yD=

m

1+4k2

＞0，（10分）
∵F(0，

3

2

)，
∴k1=

yD- 3 2

xD

=

yD- 3 2

-4kyD

-

1

4k

+

3

8kyD

，
∴k•k1=-

1

4

+

3

8yD

，
∴k•k1＞-

1

4

．（12分）

点评：本题考查直线和圆锥轴线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．