Question

已知数列{a_n}的首项a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，（n∈N^*，n≥1）
（Ⅰ）证明：数列{

an

2n

}为等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明数列为等差数列，可求出

an+1

2n+1

-

an

2n

的差为定值即为等差数列得证；
（Ⅱ）根据第一问得到数列的公差，然后利用

a1

2

的值即为首项，求出

an

2n

的通项公式即可得到a_n的通项，然后根据列举出a_n的各项和，利用错位相减法及等比数列的求和公式求出s_n即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n+1

2n+1

=1(n≥1)
∴数列{

an

2n

}为等差数列
（Ⅱ）∵

a1

2

=1，∴

an

2n

=1+(n-1)=n，∴a_n=n•2ⁿ
所以s_n=2+2×2²+3×2³+…+n2^n…①，
两边都乘以2得：2s_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n2^n+1…②
①-②得：-s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n2ⁿ⁺¹，
解得S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：此题是一道中档题，要求学生会证明一个数列是等差数列，会利用错位相减法求数列的和，灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值．