Question

设函数f（x）=|x-1|+|x-a|，
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-1，原不等式变为：|x-1|+|x+1|≥3，下面利用对值几何意义求解，利用数轴上表示实数-

3

2

左侧的点与表示实数

3

2

右侧的点与表示实数-1与1的点距离之和不小3，从而得到不等式解集．
（2）欲求当x∈R，f（x）≥2，a的取值范围，先对a进行分类讨论：a=1；a＜1；a＞1．对后两种情形，只须求出f（x）的最小值，最后“x∈R，f（x）≥2”的充要条件是|a-1|≥2即可求得结果．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|，由f（x）≥3有|x-1|+|x+1|≥3
据绝对值几何意义求解，|x-1|+|x+1|≥3几何意义，是数轴上表示实数x的点距离实数1，-1表示的点距离之和不小3，
由于数轴上数-

3

2

左侧的点与数

3

2

右侧的点与数-1与1的距离之和不小3，
所以所求不等式解集为（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）
（2）由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈（-∞，-1]∪[3，+∞）

点评：本小题主要考查绝对值不等式、不等式的解法、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．