Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

1

=1，点M（2，3）过M点引直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：利用点差法来求弦的中点问题．可先设弦AB的中点P以及A，B点的坐标，把直线AB斜率分别用P点坐标以及M点坐标表示，化简即可得含x，y的方程，即弦AB的中点P的轨迹方程．

解答：解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、P（x，y），直线AB：y-3=k（x-3）
则x₁²+4y₁²=4①，x₂²+4y₂²=4②
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
整理得：

4(y1+y2)

x1+x2

•

y1-y2

x1-x2

=-1
化简得：k=

y1-y2

x1-x2

=-

4y

x

代入y-3=k（x-2）
整理得：x²+4y²-3x-12y=0，即为AB的中点P的轨迹方程

点评：本题主要考查了点差法求中点弦斜率问题，属于圆锥曲线的常规题．