Question

已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为S_n，数列{

Sn

n

}是首项为0，公差为

1

2

的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

4

15

•(-2)an(n∈N*)，对任意的正整数k，将集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求证：数列{d_k}为等比数列；
（3）对（2）题中的d_k，求集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数．

Answer 1

（1）由条件得

Sn

n

=0+(n-1)

1

2

，即Sn=

n

2

(n-1)，
∴an=n-1(n∈N*)．
（2）由（1）可知bn=

4

15

•(-2)n-1(n∈N*)
∴b2k-1=

4

15

(-2)2k-2=

4

15

•22k-2，b2k=

4

15

(-2)2k-1=-

4

15

•22k-1，b2k+1=

4

15

(-2)2k=

4

15

•22k，
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成递增的等差数列，
所以dk=b2k+1-b2k-1=

4

15

•22k-

4

15

•22k-2=

4k

5

，
满足

dk+1

dk

=4为常数，所以数列{d_k}为等比数列．
（3）①当k为奇数时，

dk= 4k 5 = (5-1)k 5 = 5k- C 1k 5k-1+ C 2k 5k-2-…+(-1)k 5 =5k-1- C 1k 5k-2+ C 2k 5k-3-…+ C k-1k 50(-1)k-1- 1 5

同样，可得dk+1=

4k+1

5

=

(5-1)k+1

5

=5k-

C

1k+1

5k-1+

C

2k+1

5k-2-…+

C

kk+1

50(-1)k+

1

5

，
所以，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数为(dk+1-

1

5

)-(dk+

1

5

)+1=dk+1-dk+

3

5

=

3(4k+1)

5

；
②当k为偶数时，同理可得集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数为

3•(4k-1)

5