Question

[x]表示不超过x的最大整数，正项数列{a_n}满足a₁=1，．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）m∈N^*，求证：；
（3）求证：．

Answer 1

解：（1）∵
∴
∵
∴
∴；
（2）证明：
（3）证明：
，，…，
设n-1=1+2+…+2^m+k，其中k，m∈N且0≤k＜2^m+1
则
又2^m+1≤n=2^m+1+k＜2^m+2
从而m+1≤log₂n＜m+2
∴[log₂n]=m+1
所以，
∴．
分析：（1）根据，取其倒数，即可求得数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）
（3）证明：，设n-1=1+2+…+2^m+k，其中k，m∈N且0≤k＜2^m+1
则，又2^m+1≤n=2^m+1+k＜2^m+2从而m+1≤log₂n＜m+2，故可得证．
点评：本题以数列的递推式为载体，考查数列的通项，考查不等式的证明，同时考查新定义的理解，属于中档题．