题目内容

在数列{an}中,已知a1=-1,且an+1=2an+3n-4(n∈N*).

(1)求证:数列{an+1-an+3}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式;

(3)求和:Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|(n∈N*).

答案：(1)证明:令bn=an+1-an+3bn+1=an+2-an+1+3=2an+1+3(n+1)-4-2an-3n+4+3

=2(an+1-an+3)=2bnbn=an+1-an+3为公比为2的等比数列.

(2)解:a2=2a1-1=-3,b1=a2-a1+3=1bn=an+1-an+3=2n-12an+3n-4-an+3=2n-1

an=2n-1-3n+1(n∈N*).

(3)解:设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n-1=2n-1,

Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,∵n≤4,an＜0,n＞4,an＞0,

∴n≤4,Tn=-Sn=1+-2n,n＞4,Tn=Sn-2S4=2n+21.

练习册系列答案
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在数列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn=
3
bn•bn+1
，Sn是数列{cn}的前n项和，求使Sn＜
m
20
对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
在数列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．
在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的个位数（n∈N*），若数列{an}的前k项和为2011，则正整数k之值为（　　）
（2012•淮南二模）在数列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）记bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式；
（3）对?k∈N+，是否总?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
在数列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）计算a2，a3；
（Ⅱ）求证：{
an-
1
2
3n
}是等差数列；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn．

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