题目内容
已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R，满足 f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，令
的通项公式为（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】分析：对抽象函数赋值，令a=2，b=2n-1，可得数列{an}为等差数列，进而可得a1，可得通项公式．
解答：解：令a=2，b=2n-1，代入原式可得：
f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2），而f（2）=2
故上式可化为f（2n）=2f（2n-1）+2n，
∴
=
=
，
即an=an-1+1，而
，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an=1+（n-1）×1=n
故选D
点评：本题考查等差数列的定义，涉及抽象函数的应用，属基础题．
解答：解：令a=2，b=2n-1，代入原式可得：
f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2），而f（2）=2
故上式可化为f（2n）=2f（2n-1）+2n，
∴
==，即an=an-1+1，而
，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an=1+（n-1）×1=n
故选D
点评：本题考查等差数列的定义，涉及抽象函数的应用，属基础题．
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